وبلاگ

نخستین بار ،موضوع قابلیت اعتماد در حین جنگ جهانی دوم مطرح شد ،قابلیت اعتماد تا حد زیادی کاربرد علم آمار را در علوم فنی روشن می سازد.به ویژه اینکه کاربرد آمار را در   فعالیت های عملی بیان می کند.

 

در دنیای امروز تلاش کلیه سازندگان سیستم های الکترونیکی و … بر این است که با بهره گیری از تکنولوژی پیشرفته،ضریب اطمینان محصولات خود را بالاتر ببرند به ویژه با توجه به رقابت  موجود در دنیای صنعت محصولی موفق تر است که عمر بیشتر و کارکرد بالاتری داشته باشد.

 

ما برای رسیدن به این هدف از آمار بهره گرفته ایم تا با استفاده از علم احتمالات ضریب اطمینان و متوسط طول عمر هر محصول را از لحاظ زمانی محاسبه کنیم و با مقایسه آن با سایر محصولات تصمیمی درست در مورد کیفیت یک محصول بگیریم.

 

علاوه بر آن در هر مرحله سعی می کنیم محصولی را تولید کنیم که از لحاظ آماری عمر مفید تر و کارکرد بالاتری نسبت به مرحله قبل داشته باشد.

 

ما در این پایان نامه،برای یکی از این دستگاهها دو مدل را پیشنهاد می کنیم که با توجه به این مدل ها و محاسبات آماری لازم در مورد این مدل ها ،روشن می شود که مدل سازی و بهره گیری از علم آمار و احتمال تا چه حد در بالا بردن کیفیت این گونه محصولات می تواند مفید باشد.

 

 

 

فهرست مطالب

 

             عنوان                                                                                                                     صفحه

 

                   فصل اول: پیش نیازها                                                                                              1

 

• تعاریف ………………………………………………………………………………………………………….2

 

• فرآیند تجدید و زنجیره های مارکف …………………………………………………………………..8

               فصل دوم: طرح و بررسی دو مدل تصادفی در حوزه قابلیت اعتماد                     12

 

• طراحی و بررسی دو مدل تصادفی و نمودار دو مدل………………………………………………13

 

• نماد گذاری ………………………………………………………………………………………………… 18

               فصل سوم : بررسی مدل اول در حوزه قابلیت اعتماد                                              20

 

• شرح و بیان مدل اول ……………………………………………………………………………………21

 

• ماتریس آهنگ ها (نرخ های )انتقال…………………………………………………………………22

 

• احتمالات انتقال و زمانهای توقف (کوتاه) ………………………………………………………..23

 

• ماتریس احتمال انتقال …………………………………………………………………………………..26

 

• میانگین زمانهای اقامت در حالتهای مختلف ………………………………………………………26

 

• مدت زمان لازم تا خراب شدن سیستم………………………………………………………………27

 

• تحلیل موجودیت ………………………………………………………………………………………..33

 

• تحلیل دوره مشغولیت …………………………………………………………………………………..36

 

• امید ریاضی تعداد تعمیرات ……………………………………………………………………………38

                  فصل چهارم : بررسی مدل دوم در حوزه قابلیت اعتماد                                            40

 

• شرح و بیان مدل دوم ……………………………………………………………………………………41

 

• ماتریس آهنگ ها (نرخ های ) انتقال ……………………………………………………………….43

 

• احتمالات انتقال و زمانهای توقف (کوتاه) ………………………………………………………..43

 

• ماتریس احتمال انتقال …………………………………………………………………………………..44

 

• میانگین زمانهای اقامت در حالتهای مختلف ………………………………………………………44

 

• مدت زمان لازم تا خراب شدن سیستم………………………………………………………………45

 

• تحلیل موجودیت ………………………………………………………………………………………..48

 

• تحلیل دوره مشغولیت …………………………………………………………………………………..51

 

• امید ریاضی تعداد تعمیرات ……………………………………………………………………………53

فصل پنجم : نمودارهای مقایسهای دو مدل تصادفی                                                                 55

 

                 واژنامۀ انگلیسی به فارسی ………………………………………………………………………..62

 

                 فهرست مراجع ………………………………………………………………………………..65   

 

 

 

مفاهیم و مقدمات فرآیند های تصادفی

 

 1-1 تعاریف

 

تعریف 1-1-1. مجموعه اندیس1: مجموعه  را فضای پارامتر یا مجموعه اندیس می‌‌گوییم.

 

 مجموعه اندیسگذار  میتواند چند بعدی باشد، به عنوان مثال امواج اقیانوسها، میتوان  را طول و عرض جغرافیایی گرفت، و در این صورت،  ارتفاع موج در موضع  میباشد. [11]

 

مقادیر  ممکن است یک بعدی، دو بعدی، یا  بعدی و یا حتی کلیتر باشد.

 

تعریف 1-1-2. فرآیند تصادفی2: هر گاه  یک مجموعه اندیسگذار و برای هر ، یک متغیر تصادفی باشد، گردایهی  را  اصطلاحا یک فرایند تصادفی میگوییم. [11]

 

تعریف 1-1-3. فضای حالت3: مجموعه ، شامل کلیه مقادیر مختلفی که  به ازای هر  اختیار میکند، فضای حالت2 فرآیند تصادفی می‌‌گوییم.

 [11]

 

تعریف 1-1-4. فرآیند گسسته4 و فرآیند پیوسته5: در صورتیکه مجموعه‌ای شمارا باشد فرایند را گسسته و در غیر این صورت فرآیند را پیوسته  می‌‌گوییم. [11]

 

 به عبارت دیگر هرگاه ، آنگاه همواره میگوییم  یک فرآیند تصادفی با زمان گسسته است. هرگاه  ، یک فرآیند با زمان پیوسته است.

 

1- Index Set                  2- Stochastic Process                            3- State Space

 

4 – Discrete                   5 -Continuous

 

تعریف 1-1-5. فرآیند با حالت گسسته، فرآیند با حالت پیوسته: اگر فضای حالت یک فرآیند شمارا باشد فرایند را با حالت گسسته و در غیر این صورت فرایند را با حالت پیوسته گوییم.[11]

 

 در حالتی که ، فرآیند مربوطه را با مقدار صحیح یا یک فرآیند با وضعیت گسسته مینامیم. هرگاه  خط حقیقی  باشد، آنگاه  را یک فرآیند تصادفی با مقدار حقیقی مینامیم. هرگاه  یک فضای اقلیدسی بعدی باشد، آنگاه گوییم  یک فرآیند برداری بعدی است.

 

مثال 1-1-1: برای یک فرآیند تصادفی که نمایانگر امتیازات در یک مسابقه فوتبال میباشد فضای پارامتر و فضای حالت را مشخص کنید. [13]

 

حل: فضای حالت  در این فرآیند عبارت است از تعداد گل هایی که بین دو تیم رد و بدل میشود یا به عبارت دیگر:                                                          

 

اگر زمان را برحسب دقیقه اندازه بگیریم، فضای پارامتر  عبارت است از . فرآیند در وضعیت  شروع میشود و هر زمانی که گلی به ثمر برسد انتقالی بین حالتهای  صورت میگیرد. به ثمر رسیدن یک گل، مقدار  یا  را به اندازهی یک واحد افزایش میدهد و لذا امتیاز  به  یا  تغییر خواهد یافت.

 

مثال 1-1-2: کارخانهای دارای دو ماشین تراش است ولی هر روز یکی از آن ها مورد استفاده قرار میگیرد. احتمال ثابتی برای خراب شدن این ماشین تراش وجود دارد، و اگر خرابی ماشین پیش بیاید، این اتفاق در پایان روز رخ خواهد داد. یک تعمیرکار در این رابطه در استخدام کارخانه است. تعمیر هر ماشین دو روز به طول میانجامد. یک فرآیند تصادفی طرح کنید که عملکرد این  کارخانه را توضیح دهد. [13]

 

حل: انتخاب متغیر تصادفی در این مسأله مهم است. مقدار این متغیر تنها در انتهای روز بررسی میشود زیرا کلیهی انتقالات در آخر روز صورت میگیرد. فضای پارامتر  مجموعهی روزهای فعال هفته میباشد که سیستم در حال بهرهبرداری است. اگر اولین روز را 1 و دومین روز را 2 و به همین ترتیب بقیه روزها را شماره گذاری کنیم خواهیم داشت:                             

 

فرآیند تصادفی مناسب این کارخانه عبارت است از ، که  نمایانگر تعداد روزهای لازم برای تعمیر ماشینها است و مقدار آن در پایان روز  ثبت میشود. اگر هر دو ماشین قابل استفاده باشند  صفر خواهد بود.

 

اگر یکی از ماشینها سالم و ماشین خراب یک روز تحت تعمیر باشد                             

 

اگر یک ماشین سالم و ماشین دوم اخیراً خراب شده باشد                                             

 

اگر یک ماشین اخیراً خراب شده باشد و ماشین خراب دومی یک روز تحت تعمیر باشد

 

وضعیتهای ذکر شده موارد ممکنه هستند پس فضای وضعیت عبارت است از:       

 

مثال 1-1-3 : فرآیند پیوسته با حالت پیوسته[9]:

 

 

برق مصرفی کارخانه دریک روزتازمان t

مثال 1-1-4 : فرآیند پیوسته با حالت گسسته[9]:

 

 

تعداد مشتریان در صف در  زمان

مثال 1-1-5 : فرآیند گسسته  با حالت پیوسته [9]:

 

 

میزان بارندگی در روز – ام از اردیبهشت

مثال 1-1-6 : فرآیند گسسته  با حالت گسسته[9]:

 

 

افرادی که در روز t– ام به مغازه مراجعه می کنند

تعریف 1-1-6. فرآیند دارای نمو مستقل1: هر گاه  یک فرایند تصادفی باشد و به ازای جمیع که  متغیرهای تصادفی  مستقل از هم باشند، فرایند را دارای نموهای مستقل گوییم. به عبارت دیگر فرآیند تصادفی  دارای نموهای مستقل است هرگاه متغیرهای تصادفی  از هم مستقل باشند. [11]

 

تعریف 1-1-7 . فرآیند دارای نمو مستقل مانا2: هر گاه برای هر  و هر متغیرهای تصادفی  هم توزیع باشند آنگاه فرایند را دارای نموهای مستقل مانا (ایستا) گوییم. [11]